Dataset:v21
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1
Sei A = [[8, 5], [7, 6]]. Dann ist die Determinante det(A^121 - A^120) gleich...
A. 0
B. 1
C. 120
D. 121
A
2
Sei A ∈ R^(2x2) eine reelle Matrix. Falls die Matrix A die Eigenwerte 5 und 6 hat, was sind dann die Eigenwerte von A^2?
A. 5/2 und 3
B. 5 und 6
C. 10 und 12
D. 25 und 36
D
3
Sei A ∈ R^(nxn) eine symmetrische Matrix. Die Eigenwerte von A sind dann immer:
A. positiv
B. reell
C. negativ
D. komplex mit positivem Realanteil
B
4
Ein Vektor v ∈ R^2 hat bezüglich der Basis B := {[-3, 1]^T, [-8, 5]^T} die Koordinaten [v]_B = [2, 3]^T. Die Koordinaten von v bezüglich der Standardbasis sind dann gleich...
A. [-2, 3]^T
B. [-25, 7]^T
C. [-30, 13]^T
D. [-48, 12]^T
C
5
Sei A ∈ R^(2x2) diagonalisierbar mit Eigenwerten λ1 und λ2. Dann ist die Determinante det(e^A) gleich...
A. ln(λ1)ln(λ2)
B. e^(λ1λ2)
C. e^(λ1+λ2)
D. λ1λ2
C
6
Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse von [[-2, 0, 0], [0, 1, 1], [2, 0, 1]]?
A. [[-1/2, 0, 0], [-1, 1, 1], [1, 0, -1]]
B. [[1/2, 0, 0], [-1, 1, -1], [1, 0, 1]]
C. [[-1/2, 0, 0], [-1, 1, -1], [1, 0, 1]]
D. [[1/2, 0, 0], [1, -1, 1], [1, 0, 1]]
C
7
Welche der folgenden Aussagen gilt allgemein für eine reguläre Matrix A ∈ R^(nxn)?
A. (A^T)^(-1) = (A^(-1))^T
B. (A^T)^T = (A^(-1))^T
C. (A^T)^(-1) = (A^(-1))^(-1)
D. keine der obigen Aussagen ist richtig
A
8
Welche der folgenden Aussagen impliziert nicht, dass die Matrix A ∈ R^(nxn) diagonalisierbar ist?
A. A^T = A
B. A besitzt n paarweise verschiedene Eigenwerte
C. A ist regulär
D. A besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren
C
9
Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]]?
A. [1, -√2, 1]^T
B. [√2, 8, 3]^T
C. [0, 1, 0]^T
D. [√2, 1, √2]^T
A
10
Was ist die Orthogonalprojektion von [0, 6, 3]^T auf den Vektor [1, 1, 1]^T bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R^3?
A. [1, 1, 1]^T
B. [-1, -1, -1]^T
C. [0, 6, 3]^T
D. [1, 7, 2]^T
A
11
Sei A ∈ R^(mxn) eine (mxn)-Matrix. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen wahr?
A. Die Spalten von A spannen das Bild von A auf
B. Die Spalten von A bilden eine Basis des Bilds von A
C. Die Spalten von A spannen den Kern von A auf
D. Die Spalten von A sind linear unabhängig
A
12
Sei 2A = B ∈ R^(2x2) eine Matrix mit charakteristischem Polynom p_B(λ) = det(B-λI) = λ^2 - 12λ + 8. Welchen Wert hat Spur(A)?
A. -12
B. 6
C. -6
D. 12
B
13
Was ist die Determinante det([[1, a, b+c], [1, b, c+a], [1, c, a+b]])?
A. 0
B. 1
C. a + b + c
D. 2a^2 - 2c^2 + 2ab - 2bc
A
14
Welche der folgenden Mengen bildet eine orthonormale Basis von R^3?
A. {[-1, 1, 0]^T, [1, 1, 0]^T, [0, 0, 1]^T}
B. {1/√2[-1, 1, 0]^T, 1/√2[1, 1, 0]^T}
C. {1/√2[-1, 1, 0]^T, [0, 1, 0]^T, [0, 0, 1]^T}
D. Keine der obigen Mengen
D
15
Welche Dimension hat der Lösungsraum des folgenden Differentialgleichungssystems für z_1(x) und z_2(x)?
z_1'' = z_1e^x + z_2'
z_2''' = z_1' + sin(x)z_2
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
C
16
Was ist die geometrische Interpretation der linearen Abbildung dargestellt von der Matrix A = [[0, 2], [2, 0]]?
A. Eine Rotation von π/2 um den Ursprung gegen den Uhrzeigersinn, bei der die Länge der Vektoren unverändert bleibt
B. Eine Rotation von π/2 um den Ursprung gegen den Uhrzeigersinn, bei der die Länge der Vektoren sich verdoppelt
C. Eine Rotation von π/2 im Uhrzeigersinn um den Ursprung, bei der die Länge der Vektoren sich verdoppelt
D. Eine Rotation von π/2 im Uhrzeigersinn um den Ursp...
B
17
Wenn für eine Matrix P gilt, dass P = P^2, dann gilt für jeden Eigenwert λ von P:
A. λ ∈ R, λ ≤ 0
B. λ ∈ C, mit |λ| = 1
C. λ ∈ (0, 1)
D. λ = 1 oder λ = 0
D
18
Die quadratische Form Q(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 ist:
A. positiv definit
B. negativ definit
C. indefinit
D. positiv semidefinit
D
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