Sei A ∈ R^(2x2) eine reelle Matrix. Falls die Matrix A die Eigenwerte 5 und 6 hat, was sind dann die Eigenwerte von A^2? A. 5/2 und 3 B. 5 und 6 C. 10 und 12 D. 25 und 36

D

Sei A ∈ R^(nxn) eine symmetrische Matrix. Die Eigenwerte von A sind dann immer: A. positiv B. reell C. negativ D. komplex mit positivem Realanteil

B

Ein Vektor v ∈ R^2 hat bezüglich der Basis B := {[-3, 1]^T, [-8, 5]^T} die Koordinaten [v]_B = [2, 3]^T. Die Koordinaten von v bezüglich der Standardbasis sind dann gleich... A. [-2, 3]^T B. [-25, 7]^T C. [-30, 13]^T D. [-48, 12]^T

C

Sei A ∈ R^(2x2) diagonalisierbar mit Eigenwerten λ1 und λ2. Dann ist die Determinante det(e^A) gleich... A. ln(λ1)ln(λ2) B. e^(λ1λ2) C. e^(λ1+λ2) D. λ1λ2

C

Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse von [[-2, 0, 0], [0, 1, 1], [2, 0, 1]]? A. [[-1/2, 0, 0], [-1, 1, 1], [1, 0, -1]] B. [[1/2, 0, 0], [-1, 1, -1], [1, 0, 1]] C. [[-1/2, 0, 0], [-1, 1, -1], [1, 0, 1]] D. [[1/2, 0, 0], [1, -1, 1], [1, 0, 1]]

C

Welche der folgenden Aussagen gilt allgemein für eine reguläre Matrix A ∈ R^(nxn)? A. (A^T)^(-1) = (A^(-1))^T B. (A^T)^T = (A^(-1))^T C. (A^T)^(-1) = (A^(-1))^(-1) D. keine der obigen Aussagen ist richtig

A

Welche der folgenden Aussagen impliziert nicht, dass die Matrix A ∈ R^(nxn) diagonalisierbar ist? A. A^T = A B. A besitzt n paarweise verschiedene Eigenwerte C. A ist regulär D. A besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren

C

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]]? A. [1, -√2, 1]^T B. [√2, 8, 3]^T C. [0, 1, 0]^T D. [√2, 1, √2]^T

A

Was ist die Orthogonalprojektion von [0, 6, 3]^T auf den Vektor [1, 1, 1]^T bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R^3? A. [1, 1, 1]^T B. [-1, -1, -1]^T C. [0, 6, 3]^T D. [1, 7, 2]^T

A

Sei A ∈ R^(mxn) eine (mxn)-Matrix. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen wahr? A. Die Spalten von A spannen das Bild von A auf B. Die Spalten von A bilden eine Basis des Bilds von A C. Die Spalten von A spannen den Kern von A auf D. Die Spalten von A sind linear unabhängig

A

Sei 2A = B ∈ R^(2x2) eine Matrix mit charakteristischem Polynom p_B(λ) = det(B-λI) = λ^2 - 12λ + 8. Welchen Wert hat Spur(A)? A. -12 B. 6 C. -6 D. 12

B

Was ist die Determinante det([[1, a, b+c], [1, b, c+a], [1, c, a+b]])? A. 0 B. 1 C. a + b + c D. 2a^2 - 2c^2 + 2ab - 2bc

A

Welche der folgenden Mengen bildet eine orthonormale Basis von R^3? A. {[-1, 1, 0]^T, [1, 1, 0]^T, [0, 0, 1]^T} B. {1/√2[-1, 1, 0]^T, 1/√2[1, 1, 0]^T} C. {1/√2[-1, 1, 0]^T, [0, 1, 0]^T, [0, 0, 1]^T} D. Keine der obigen Mengen

D

Welche Dimension hat der Lösungsraum des folgenden Differentialgleichungssystems für z_1(x) und z_2(x)? z_1'' = z_1e^x + z_2' z_2''' = z_1' + sin(x)z_2 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

C

Was ist die geometrische Interpretation der linearen Abbildung dargestellt von der Matrix A = [[0, 2], [2, 0]]? A. Eine Rotation von π/2 um den Ursprung gegen den Uhrzeigersinn, bei der die Länge der Vektoren unverändert bleibt B. Eine Rotation von π/2 um den Ursprung gegen den Uhrzeigersinn, bei der die Länge der Vektoren sich verdoppelt C. Eine Rotation von π/2 im Uhrzeigersinn um den Ursprung, bei der die Länge der Vektoren sich verdoppelt D. Eine Rotation von π/2 im Uhrzeigersinn um den Ursp...

B

Wenn für eine Matrix P gilt, dass P = P^2, dann gilt für jeden Eigenwert λ von P: A. λ ∈ R, λ ≤ 0 B. λ ∈ C, mit |λ| = 1 C. λ ∈ (0, 1) D. λ = 1 oder λ = 0

D

Die quadratische Form Q(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 ist: A. positiv definit B. negativ definit C. indefinit D. positiv semidefinit

D